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Misión ICTE "Operativo Anthropos - Cohete Pantera X1 V-150" 
Cálculos de altura del vuelo
Ecuaciones de Culp y Fehskens-Malewicki:

A continuación se expone el sencillo método de cálculos desarrollado por Randy Culp y Leonard Fehskens - Douglas Malewicki; se trata de un sistema simplificado muy fácilmente utilizable en planillas de computadora del tipo MS-Excel o en calculadoras científicas y es el método de cálculo simplificado que está explicado en mi humilde librito "Cohetes".-

Historia de este método de cálculo:
Los cálculos que usaremos aquí han sido preparados por Randolph Culp; Randy posee un Master en Ingeniería Electrica de la Purdue University (casa de altos estudios que contó a Neil Armstrong como uno de sus alumnos graduados en ingeniería); Randy ha trabajado por más de 25 años en sistemas de diagnóstico por imágenes (GE Healthcare), CAT scanners, MRI scanners, medicina nuclear, sistemas de rayos X y máquinas de ultrasonido. Actualmente es el ingeniero principal de diseño de scanners en Positron Emission Tomography (PET scanners). Se puede obtener información adicional sobre los trabajos profesionales de Randy Culp en http://www.gemedicalsystems.com ; fundamentalmente se pueden ver los scanners que él ha diseñado en el sitio de GE Healthcare Discovery ST.

El Dr. Christian Strutz, de Alemania ha preparado un documento que contiene las derivaciones matemáticas de estos cálculos.-

De todos modos, si bien Randy Culp y el Dr Strutz son quienes han popularizado estas ecuaciones, no fueron los primeros en trabajar en estos cálculos simplificados.- 
Anteriormente, durante los años '60, Leonard Fehskens derivó estas mismas ecuaciones, poco después que  Douglas Malewicki desarrollara independientemente los mismos resultados; por esa razón, fueron bautizados como "Ecuaciones de Fehskens-Malewicki". 
Se pueden hallar referencias a estos trabajos en "Topics in Advanced Model Rocketry", por G. K. Mandell, G. J. Caporaso y W. P. Bengen, una obra publicada en 1973 por MIT Press, Boston, Mass.; también se los usa en los hoy populares documentos "Estes TR-10 Altitude Prediction Charts", y se los puede ver en la excelente página del Dr. Thomas Beach
A pesar de que las ecuaciones de Fehskens-Malewicki son levemente diferentes en su presentación, son matemáticamente equivalentes a las ecuaciones de Culp que se usarán aquí.-

Lo mejor de la simplificación de Culp y Fehskens-Malewicki consiste en manejar correctamente -para fines prácticos- algunas presunciones que no siempre son bien gestionadas.- Por ejemplo, tomar un valor erróneo de masa del combustible o promediar esa masa a lo largo del tiempo de vuelo es una mala idea y los resultados serán catastróficos, pero es posible simplificar esto, ya que la mayoría de los cohetes simples solo tienen una masa de propelente que es de un 10 a un 40 % de la masa total del cohete.- Por contraste, digamos que en una nave como el Space Shuttle la masa de sus propelentes es MUCHAS VECES MAYOR que la masa total del vehículo, y es en esos casos cuando no se debe promediar nada, ya que la variación de la masa a lo largo del tiempo es muy significativa.- En cambio, si efectuamos cálculos en cohetes de propelente sólido veremos que la masa del propelente debe exceder más del 65% de la masa total del cohete para inducir un error de alrededor del 10% en los cálculos o estimaciones.  En este caso, la masa del propelente es inferior al 50% de la masa total del cohete, con lo que el error inducido debería ser menor al 10%.-

Para cohetes típicos se pueden sugerir otras simplificaciones que nos llevarán a errores del orden de un 10 a un 15%, pero nos permiten usar expresiones matemáticas muy sencillas y que tienen en cuenta la resistencia del aire al avance, un factor MUCHO más importante que la variación en la masa del propelente.-  Efectivamente, las ecuaciones de Culp incluyen los efectos de la resistencia del aire (rozamiento aerodinámico o "drag"), y por lo tanto, son ecuaciones precisas en ese sentido.- El "drag" tiene un efecto enorme en los cálculos, ya que a veces los hace variar en magnitudes que van de dos a cuatro veces los valores calculados.-

¿Y si los cálculos son diferentes a lo que se informó o se vió en la realidad?  Suponiendo que las mediciones de la realidad sean exactas (algo difícil de lograr), siempre hay algunas cosas que causan diferencias entre lo calculado y lo real.- Ante todo, las ecuaciones pueden ser muy precisas... pero los cohetes no siempre lo son. Un cohete puede variar en su performance debido a las siguientes razones principales:

·         El empuje del motor puede variar mucho entre lo especificado en las curvas suministradas o en las mediciones efectuadas y la realidad del motor empleado en ese vuelo; no es raro ver variaciones de un +/- 15% entre un motor comercial y otro, de una misma partida; en motores experimentales esa diferencia puede ser mayor y eso puede hacer una gran varianza si se toman esos valores para cálculos teóricos.-

·         El coeficiente de rozamiento aerodinámico real de un cohete depende mucho de cómo se lo ha construido y se ve muy afectado por el perfil del cono nariz, por ejemplo.- También es crucial la calidad de la terminación y de la pintura.- No existen datos al respecto, a pesar de notarse en las fotografías que el cohete estaba pintado y decorado.-

·         La estabilidad del cohete: si vuela de manera “pintoresca” seguramente volará bajo.- Si sube en línea recta y estable, llegará mucho más arriba.- En este caso no hay referencias a un vuelo errático, con lo que se da por sentado -cosa corroborada en las simulaciones- que el cohete fue estable.-

·         Además de lo anterior, las ecuaciones que aquí se presentan según el Método Culp hacen algunas aproximaciones.- Las tres aproximaciones mayores son:

o   Se presupone constante la densidad del aire:.- En la realidad, el aire es menos denso a medida que el cohete gana altura, disminuyendo en densidad alrededor de un 10% cada 1000 metros.- El error inducido no es grande para vuelos de ese orden, y recién allí se podría decir que se ve afectada la exactitud y ante eso debe contrastarse lo calculado con algún otro método.-  En otras palabras: para vuelos del órden de los miles de metros, el error puede ser tolerable, pero si se superan las DECENAS de miles de metros, este método puede ser discutible.- En este caso es necesario calcular la altura alcanzada y luego decidir si se descarta el método.- Se decidió no descartarlo pero si contrastarlo con RockSim 7.0

o   Se presupone constante el empuje del motor.- En realidad, el empuje del motor varía durante el quemado, pero en estas ecuaciones se ha usado un valor constante de promedio.- Si contrastamos estos cálculos usando un valor de empuje constante versus simulaciones en las que se ha usado el verdadero perfil de empuje del motor (como en el caso de simulaciones con RockSim empleando motores de perfil conocido), las diferencias en los resultados son negligibles y es mucho mas notorio el efecto de usar un valor erróneo de impulso total del motor que variar el empuje a lo largo del tiempo.-

o   Peso constante del motor: en la realidad, la masa del motor cambia a medida que se va quemando el propelente.- La manera en la cual se maneja este valor es importante para obtener resultados más precisos.- Ver Nota al pie.-

Conocido todo lo anterior, pasamos a los cálculos.

En principio, se debe dividir el problema en dos fases: el vuelo impulsado y el vuelo inercial.- El vuelo impulsado es la parte inicial del mismo, es decir cuando el motor está empujando, mientras que el vuelo inercial es aquella parte del trayecto del cohete en la que el motor ya no empuja pero el cohete sigue subiendo hasta llegar al apogeo (Primera y Segunda Leyes de Newton).-  

Las variables

Definición de variables:

·         m = masa del cohete en kilogramos (ver Nota al pie)

·         g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2

·         d = diámetro del cohete en metros

·         A = sección del cohete en m2

·         Cd = drag, o coeficiente de rozamiento = 0.75 (para la mayoría de los cohetes)

·         r (rho) = densidad del aire = 1.22 kg/m3

·         t = tiempo de quemado del motor, en segundos ("t" minúscula)

·         T = Empuje promedio del motor en Newtons ("T" mayúscula)

·         I = impulso del motor en Newton-segundos

·         v = velocidad al final del quemado (fin del empuje), en metros/segundo

·         ta = tiempo de vuelo inercial, al final del empuje del motor.-

·         q = elemento de cálculo auxiliar (Ver metodología de cálculo, más abajo)

·         x = elemento de cálculo auxiliar (Ver metodología de cálculo, más abajo)

·         y1 = altura al final del quemado (fin del empuje) del motor

·         yc = distancia de vuelo inercial

 Nota sobre el manejo de la masa del cohete: Usualmente se conoce la masa del cohete completo, con todos sus sistemas de recuperación y  sin el motor; a esa masa la llamaremos mr.-  En este caso, el ICTE no brinda información sobre la masa del motor (que llamaremos me) pero se dispone de información sobre la masa del propelente (a la que llamaremos mp).- Si esa información no está disponible, se debería pesar un motor nuevo y uno usado, para conocer por diferencia la masa del propelente (mp).- En este caso podemos calcular esto en base a la información suministrada por el ICTE en lo relativo al material utilizado para el tubo.- Una vez despejada esa duda, sabemos que la masa promedio durante el vuelo impulsado es: mr+me-(mp/2)

Se puede estimar la masa del cohete sumando:

El peso del cohete vacío; 

El peso del motor vacío;

La mitad del peso del propelente del motor a emplear.- 

Metodología de cálculo

Según se explicó más arriba, es necesario hallar la masa m del cohete, incluyendo las correcciones a la masa del propelente, y expresando todo en kilogramos (kg);

Calculamos el área frontal A del cohete (en metros cuadrados):

A = P r2  (donde "r" es el radio en metros)

Ahora, notemos que la resistencia del aire es 0.5  rho Cd A v2, donde:

El valor "rho" es la densidad del aire = 1.2 kg/m3

El factor "Cd" es el coeficiente de rozamiento aerodinámico; para un cohete modelo, este valor es generalmente de 0.75.-

El valor "v" es la velocidad máxima del cohete.-

Y aquí surge un problema: No podemos calcular aún la resistencia del aire porque no conocemos todavía la velocidad del cohete.- Entonces lo que haremos es agrupar algunos de los factores que hacen a la resistencia del aire en un único coeficiente intermedio, al cual llamaremos "k":

k = 0.5 rho Cd A = 0.5 1.2 0.75 A

  Ahora es necesario disponer del impulso I y el empuje T (“T” mayúscula) del motor a usar; esto se puede obtener del fabricante o de cifras publicadas en Internet.- El ICTE suministra ambos valores, además del tiempo de quemado t (“t” minúscula) del motor.- 
La aceleración de la gravedad (g) es una constante, y vale 9.81 m/seg2 .- 

Ahora haremos un par de cálculos intermedios, en los que daremos un valor a otros dos elementos de cálculo auxiliar llamados q y x , los cuales se usarán (además del ya calculado k) en el resto de los cálculos: 

  

 
 

Ahora que contamos con todos los elementos auxiliares, vamos a calcular la velocidad al final del quemado del motor (es decir en MECO, o Main Engine Cut Off), llamada v, la altura alcanzada al final del empuje y1,  la distancia recorrida inercialmente yc, (debemos sumar y1 + yc para calcular la altura total).-  Para estas expresiones usaremos el número "e", que es una constante universal y su valor es el siguiente: 
e = 2.718281828...

Veamos en primer lugar cómo calcular  la velocidad máxima que alcanzará nuestro cohete, es decir la velocidad al final del empuje del motor (MECO):

 

  Ahora, la altura al final de la fase impulsada (corte del motor – MECO):

 

  La altura adicional lograda durante el vuelo inercial será:

 

  Finalmente, la altura máxima será:

Altura Máxima = y1 + yc

Cálculos Finales mediante Ecuaciones de Culp y Fehskens-Malewicki

Veamos los resultados obtenidos mediante una planilla MS-Excel con estos cálculos para el cohete Pantera V150 del ICTE.- Se empleó en los cálculos una masa m del cohete obtenida de la suma de la masa del cohete y su carga útil, la del motor vacío y la mitad de la masa del propelente, según datos del ICTE.- Estos son los valores obtenidos:

Arriba Metodo Culp RockSim WinRoc

 

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Esta página se actualizó por última vez el 05/02/12.