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EL SIGUIENTE MATERIAL PERTENECE A LA ACEMA
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Método de Ajuste

Objetivo

El problema de determinar la posición de un punto en el cielo en base a mediciones angulares realizadas desde posiciones conocidas de antemano no es, en términos teóricos, una tarea particularmente compleja. El DKM brindó la oportunidad de explorar este problema y ensayar soluciones complementarias o alternativas a los métodos más conocidos para la estimación de la altura alcanzada por un modelo.

Introducción

Las mediciones angulares básicas que pueden realizarse con instrumentos sencillos son dos: elevación y azimuth. La elevación de un punto en el cielo es el ángulo que forma la visual dirigida hacia dicho punto con el plano horizontal, en tanto que el azimuth es el ángulo conformado por la proyección sobre el plano horizontal de la visual dirigida hacia el punto con una cierta dirección adoptada como referencia. 

Las figuras siguientes muestran los ángulos de elevación (η1, η2) y azimuth (α1, α2) para un mismo punto observado desde dos puestos distintos. En este ejemplo, la dirección de referencia adoptada para las mediciones de azimuth es la recta que une ambos puestos de observación, a veces llamada “línea de base”. Los segmentos ρ1 y ρ2 son las “distancias horizontales” entre el punto y los respectivos puestos de observación, en tanto que las rectas TL1 y TL2 son las “líneas de seguimiento” del punto.

“Triangulación por pares” y “Distancia horizontal mínima”

Dos de los métodos más conocidos para estimar la altura (z) alcanzada por un modelo se basan precisamente en las mediciones anteriores y son (además de la telemetría electrónica) los únicos aceptados por la FAI para competencias de altura y records mundiales.

 El método de triangulación por pares asigna al punto de marca una altura

 

 en tanto que el método de distancia horizontal mínima, atribuye al vuelo la altura

 

Si bien ambos métodos están basados en las mismas cinco mediciones (η1, η2, α1, α2 y D12), muy difícilmente den resultados idénticos. Sucede que estas mediciones brindan realmente más información de la que sería matemáticamente necesaria para hallar el punto de marca derivando en un problema sobredeterminado que, en general, no admitirá una solución que satisfaga exactamente todas las mediciones en forma simultánea. Se trata entonces de adoptar algún criterio de ajuste que permita atribuir al punto de marca una posición razonablemente compatible con el conjunto de mediciones, aún si dicha posición no verificase en forma exacta alguno de los valores medidos. En este sentido, los dos métodos descriptos emplean criterios de ajuste diferentes, por lo que resulta natural que no proporcionen los mismos resultados.

 La triangulación por pares propone satisfacer exactamente las mediciones de α1, α2 y D12, lo que permite calcular ρ1 y ρ2 resolviendo el triángulo que se muestra en la vista cenital de la figura.

A partir de aquí, cualquier altura que se atribuya a la marca no será simultáneamente compatible con η1 y η2, por lo que el método efectúa el ajuste sobre los ángulos de elevación asignando al vuelo la altura correspondiente al punto medio entre z1 y z2.

En contraste, el método de distancia horizontal mínima realiza su ajuste sobre las cuatro mediciones angulares al mismo tiempo en base al siguiente razonamiento: Si bien las líneas de seguimiento no tienen por qué intersecarse realmente en ningún punto, es fácil ver que ambas rectas se acercarán entre sí a medida que nos aproximemos a la marca. En particular, habrá una cierta altura z para la cual la distancia horizontal entre TL1 y TL2 se hará mínima, y esa será la altura asignada al vuelo.

En otras palabras, cuando cortamos las líneas de seguimiento con un plano horizontal, quedan determinados dos puntos separados entre sí por una cierta distancia Dh. A medida que subimos o bajamos el plano horizontal, esta distancia aumenta o disminuye. La altura del plano que minimiza el valor de Dh es la que el método asigna a la marca.

Otros métodos posibles

Conceptualmente, una medición de azimuth desde un puesto A1 determina un cierto plano vertical que deberá contener al punto de marca. Análogamente, una medición de elevación desde E1 determina un cono sobre cuya superficie habrá de ubicarse dicha marca.

Para puestos de observación A1 = (A1x A1y A1z) y E1 = (E1x E1y E1z), el punto de marca ( x*  y*  z* ) deberá satisfacer las ecuaciones de ambas superficies:

 

Y si se realizan nA mediciones de azimuth y nE mediciones de elevación, el punto de marca debería verificar simultáneamente

 

 Si este sistema resultase sobredeterminado (o incompatible), la adopción de algún criterio adecuado de ajuste podría permitir asignar a la marca una posición razonablemente compatible con las ecuaciones aún sin satisfacerlas a todas exactamente. Así, distintos criterios de ajuste resultarán en distintos métodos para estimar el punto de marca y en distintos valores de altura. Los métodos de triangulación por pares y distancia horizontal mínima constituyen dos ejemplos basados en criterios diferentes para compatibilizar las mediciones obtenidas con las ecuaciones del sistema S1.

El método empleado

Para esta edición del DKM nos propusimos explorar un método basado en el siguiente criterio: Asignar al punto de marca una posición de distancia mínima respecto al conjunto de “planos” y “conos” determinados por las mediciones.

Las distancias (φi y ψj) de un punto cualquiera (x y z) a las superficies determinadas por S1 serán

 

 De modo que la magnitud definida por

 

es una medida de la distancia de un punto genérico (x y z) al conjunto de superficies, y de existir un punto específico ( x*  y*  z* ) que hiciese mínima la magnitud anterior, entonces constituiría una estimación razonable del punto de marca.

 El método derivado de este criterio tiene algunas características interesantes:

No requiere que los puestos de observación se distribuyan de una forma especial. Si bien deben emplazarse a ciertas distancias mínimas, los puestos pueden ubicarse de la forma que resulte más cómoda.
No es necesario realizar conjuntamente mediciones de azimuth y elevación desde los mismos sitios. Cada puesto puede proporcionar ambas o sólo una de las dos mediciones angulares.
Puede emplearse aún si no se dispone de ninguna medición de azimuth. Si bien las mismas son deseables y proporcionan información muy valiosa, el método permite obtener una estimación de altura sólo en base a un número suficiente de mediciones de elevación.
Admite una cantidad arbitrariamente grande de mediciones. De hecho, cuanto mayor sea el número de puestos, mejor resultará la estimación.

 Como contraparte, el método presenta también algunos inconvenientes:

Es experimental. Hasta dónde sabemos, no es un método ya probado y comúnmente aceptado. En consecuencia, es esperable que la experiencia en sucesivas instancias brinde oportunidades de mejora no previsibles de antemano.
Requiere un computador. Al no proveer solución analítica (es decir, una expresión de la altura asignada al vuelo como una función sencilla de las mediciones) el método exige un computador que ejecute un programa de cálculo para buscar la solución que mejor se ajuste a las mediciones. Por este mismo motivo el margen de error en la estimación no podrá, en general, determinarse por simple propagación de los errores de medición, sino que requerirá también de técnicas algo más complejas.

Condiciones

Para esta primera experiencia, se convino en emplear el método bajo las siguientes condiciones: 

Se requieren al menos tres puestos de observación.
Para efectuar una estimación son necesarias como mínimo tres mediciones válidas, y al menos dos de ellas deben ser de elevación.
Para un vuelo de altura esperada H (en metros), los puestos de observación deben ubicarse a una distancia D (en metros) de la rampa tal que

 

A fin de proporcionar información lo suficientemente “diferenciada” los puestos de observación deben guardar entre sí una distancia mínima de D/2 metros.
Las mediciones necesarias para determinar la posición de los puestos de observación deben realizarse con un método que garantice un error despreciable frente a los errores en las mediciones angulares.
Los instrumentos empleados en los puestos de observación deben disponer de escalas que permitan errores de lectura inferiores a medio grado.
Si en un puesto de observación se dispone de más de un instrumento, se considerará el promedio de todas las mediciones válidas.  
Toda medición de elevación inferior a los 20º o superior a los 70º deberá descartarse.
Si algún puesto de observación se viese obligado a “dar la espalda” a la rampa a efectos de ubicar el punto de marca, las mediciones efectuadas por dicho puesto deberán descartarse. En otras palabras, si la orientación de un goniómetro al punto de marca supone un ángulo de azimuth de más de 90º respecto a la rampa, las mediciones desde ese punto de observación no se tendrán por válidas.
En las condiciones anteriores, se empleará un programa de computador para estimar el punto (x*  y*  z*) que minimiza el valor de ω en la expresión OD1. De no ser posible obtener un tal punto, el conjunto de mediciones no se tendrá por válido.
Para el punto hallado, se calcularán los nA valores de azimuth (α1* ... αnA* ) que corresponderían a ( x*  y*  z* )  desde los puestos de observación y se computará el valor

 

 

Análogamente, se calcularán también los nE valores de elevación (η1* ... ηnE* ) correspondientes a ( x*  y*  z* )  desde los puestos de observación y se computará el valor

 

Para una estimación válida, los valores de Eα y Eη deben resultar simultáneamente inferiores a 5º, y esta tolerancia baja a 3º a los efectos de obtener certificación.
Deberá calcularse también el valor ω de la expresión OD1 en el punto atribuido a la marca, requiriéndose que este valor no exceda el 10% de la altura (z*) asignada al vuelo. Esta tolerancia baja al 6% a efectos de certificaciones.
Por último, la certificación requerirá también una comprobación de que el error cometido en la estimación se encuentra dentro de la tolerancia de la prueba.

Si por algún motivo no fuese posible asignar a la marca una altura conforme a las condiciones anteriores, se procurará emplear las mediciones disponibles para atribuirle una altura informativa que no tendrá validez a efectos de certificación.

Resultados del 8 de Diciembre de 2006

Durante esta jornada sólo se realizaron mediciones de elevación desde tres puestos de observación, y  6 de los vuelos cumplieron con todas las condiciones establecidas para la aplicación del método. La tabla siguiente resume los resultados obtenidos:

Orden de Lanzamiento 3 4 6 7 8 9
Elevación Medida en Puesto 1 (η1 en grados) 31 28 45 41 46 51
Elevación Medida en Puesto 2 (η2 en grados) 32,5 61 50 43 48 52
Elevación Medida en Puesto 3 (η3 en grados) 43 25 44 47 51,5 46
Coordenada x* estimada (en metros) -200 445 -43 -313 -329 129
Coordenada y* estimada (en metros) 100 -260 -168 -110 -134 51
Coordenada z* estimada (en metros) 475 437 767 823 1018 609
Diferencia angular media (Eη en grados) 3,1 1,1 0 1,2 0,9 0
Distancia RMS sobre altura (ω/z*) 9,70% 4,60% 0% 3,30% 2,80% 0,10%

De la tabla anterior resulta que sólo al vuelo 8 corresponde una estimación de marca en condiciones de aspirar a certificación. Será entonces necesario realizar algún chequeo adicional que muestre que, a pesar de posibles errores de medición, la estimación obtenida para el vuelo se encuentra dentro de los límites de la prueba.

En principio podría suponerse que los errores en las mediciones angulares quedan determinados tan sólo por la precisión de los instrumentos y, así, goniómetros provistos de escalas en grados garantizarían mediciones con errores inferiores al medio grado (la mitad de la mínima división de la escala). De hecho, este razonamiento provee un modo razonable de acotar los errores de lectura pero, lamentablemente, las mediciones angulares resultarán afectadas también por errores provenientes de otras fuentes.

El sistema de ecuaciones S1 (que se aplica tanto a este método como al de triangulación por pares y al de distancia horizontal mínima) presupone que todas las observaciones están referidas exactamente al mismo punto. Esto implica que todos los instrumentos deberían estar orientados hacia la marca en el preciso instante de la eyección, “congelando” su movimiento en ese momento. Difícilmente esto suceda así en la práctica, siendo más probable que los operadores demoren unos instantes en reorientar los goniómetros antes de efectuar las lecturas. Como la carga de ferrite genera una pequeña “nube” que (muy lentamente) se va moviendo y deformando en el cielo, es razonable aceptar que las mediciones angulares puedan no resultar referidas exactamente al mismo punto dando lugar a ciertos errores adicionales independientes de la precisión propia de los instrumentos.

 

#### ESTA SECCION NO ESTA TERMINADA. HAY MAS POR AGREGAR (Tratamiento de errores)

 

Comentario sobre los métodos de “Littlewood” y “Tangentes”

Si bien estos métodos pueden proporcionar estimaciones razonables de altura en muchos casos, las premisas sobre las que se basan no necesariamente serán satisfechas en las condiciones del DKM.

La validez del método de Littlewood se restringe a vuelos que puedan ser considerados “balísticos”, y para los cuales sea posible determinar con precisión razonable el “tiempo al apogeo”. Un modelo de dos etapas que recibe impulso durante un tiempo prolongado y que produce su marca en base a un “delay” fijo, no necesariamente responderá a este comportamiento. Durante la jornada del 8 de Diciembre se realizaron algunas mediciones de “tiempo a la marca” y, por ejemplo, para el lanzamiento #3 se obtuvieron mediciones de 17’’ y de 16.5’’. De haber correspondido realmente al apogeo de un vuelo balístico, estos tiempos implicarían alturas superiores a los 1300m. Pero este cohete produjo visiblemente uno de los puntos de marca más bajos de la jornada, pues una combinación de fuerte viento y excesivo retardo en el encendido de su segunda etapa resulto en la eyección del ferrite después de algunos segundos de indeseable “descenso impulsado”.

Por su parte, el método de tangentes proporciona una aproximación correcta para un ascenso estrictamente vertical o para un punto de marca ubicado sobre la superficie de un cilindro vertical centrado en el punto de observación. Pero, en el caso general, el modelo se apartará de la vertical eyectando su carga de marca a una distancia del punto de observación que (medida horizontalmente sobre el terreno) no tiene por qué coincidir con la distancia al punto de lanzamiento. De hecho, el viento del 8 de Diciembre “ayudó” a proveer algunos ejemplos de este efecto:

Vuelo #4 Distancia a la Rampa (m) Elevación Medida (grados) Altura Estimada por Tangentes (m)
Puesto de Observación #1 601 28 320
Puesto de Observación #2 594 61 1072
Puesto de Observación #3 625 25 291

Empleando el sistema de coordenadas de las figuras, las tres mediciones obtenidas resultarían simultáneamente compatibles con un punto de marca ubicado a 437 metros de altura y en la posición (X, Y) = (445m, -260m). Para un tal punto, los valores serían:

Vuelo #4 Distancia horizontal al punto de marca (m) Elevación Teórica (grados) Elevación Medida (grados) Discrepancia con la Elevación Medida (grados) Discrepancia con la Elevación Medida (%)
Puesto de Observación #1 765 29.7 28 -1.7 6%
Puesto de Observación #2 247 60.5 61 0.5 1%
Puesto de Observación #3 991 23.8 25 1.2 5%

En síntesis, un modelo que durante su vuelo varíe su distancia a los puntos de observación no satisfará las condiciones de validez del método, y las estimaciones obtenidas por tangentes para dicho vuelo no tienen por qué corresponderse con la altura real alcanzada.

 

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